МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Методичні вказівки до лабораторної роботи № 6 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" Затверджено на засіданні кафедри «Безпека інформаційних технологій» Протокол № 12 від 12.05.2011р. Львів – 2011 Методи чисельного розв’язування диференціальних рівнянь: Методичні вказівки до лабораторної роботи №6 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" / Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ“ЛП”, 2011..- 14 с. Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц. А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц. Н.М. Лужецька, асист. Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф. Рецензент: В.В. Хома, д.т.н., проф. А.Е. Лагун, к.т.н., доц., Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного розв’язування диференційних рівнянь. ВСТУП Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних. Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР)
-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні до
-го порядку включно:
(1)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції. Диференціальне рівняння
-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(2) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші, а при
або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними. Задача Коші Задача Коші формулюється так: Нехай задане ДР
(3) з початковими умовами
. Потрібно знайти функцію
, що задовольняє дане рівняння та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст, переходять до нової точки
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива
. Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної. Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші. Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій
потрібна інформація лише про попередній крок. Багатокрокові. Для знаходження наступної точки кривої
вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. Всі ці методи розв’язування ДР дають розв’язок у вигляді таблиці значень. Метод Ейлера Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку виду.
(4) Метод Ейлера базується на розкладі функції
в ряд Тейлора в околі точки


(5) Якщо
мале, то, знехтувавши членам розкладу, що містять в собі
і т.д. отримаємо
(6) Похідну
знаходимо з рівняння (4), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні
від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співві...